quarta-feira, 28 de janeiro de 2009

Rendas Certas

Uma pessoa deseja comprar um conjunto de estofados num valor à vista de
R$ 3.500,00 para financiá-lo em 4 prestações iguais sem entrada. Cada
prestação irá lhe custar R$ 930,36. Se, entretanto, uma delas for dada como
entrada, o valor das demais prestações reduzirá para R$ 907,67. A taxa mensal de juros compostos utilizado nesse financiamento é, então, de:

Este sistema de amortização (prestações mensais iguais) chama-se Sistema Price ou Sistema Francês.

Seja VF o valor financiado, P a prestação mensal e "i" a taxa mensal de juros.

No sistema Price, a prestação é calculada conforme abaixo:

P = K.VF, com K = [i(1 + i)^n] / [(1 + i)^n - 1]

Analisando os dois casos:

1) VF1 = 3500, n = 4, P1 = 937,36

Portanto, K1 = P1/VF1 = 0,265815 = [i(1 + i)^4] / [(1 + i)^4 - 1] (eq. 1)

2)
Neste caso, como foi dada uma entrada de R$ 907,67 reais (que é o valor de
uma prestação), o valor financiado será menor. Além disso, o pagamento
será efetuado em 3 meses, já que um dos pagamentos é feito no ato da
compra, portanto:

VF2 = 3500 - 907,67 = 2592,33, n = 3, P2 = 907,67

Portanto, K2 = P2/VF2 = 0,350137 = [i(1 + i)^3] / [(1 + i)^3 - 1] (eq. 2)


A partir das equações eq. 1 e eq. 2, obtém-se: i = 0,025 = 2,5%.
Isto é, na eq. 1, isole o termo "i(1 + i)^4"; na eq. 2, isole o termo "i(1 + i)^3"; divida as equações obtidas nos dois passos anteriores (uma equação dividida pela outra, ou seja, eq. 1/eq. 2, termo a termo).

Seguindos os passos acima resultará numa equação de 2º grau em "i",
sendo que uma das raízes (descartada) é i = 0. A outra raiz é i =
0,025.

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Probleminha no orkut

Uma escola recebeu uma verba para a compra de um computador. Fazendo as contas, o diretor concluiu que precisaria de mais R$ 600,00 para comprar o computador desejado. Por outro lado, constatou que se a verba recebida fosse 50% maior, ele compraria o computador e ainda sobrariam R$ 300,00 para a compra de uma impressora. Desse modo, pode-se concluir que o computador desejado custa
(A) R$ 2.400,00.
(B) R$ 2.100,00.
(C) R$ 2.000,00.
(D) R$ 1.900,00.
(E) R$ 1.800,00.

a alternativa correta eh a (A)

preço do computador = x + 600

x.1,5 - (x + 600) = 300
1,5x - x - 600 = 300
0,5x = 900
x = 1800

preço do computador = x + 600
preço do computador = 1800 + 600 = 2400

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segunda-feira, 26 de janeiro de 2009

sábado, 10 de janeiro de 2009

Problemas de Matemática Financeira #1

Duas pessoas tem juntas R$261.640,00 e empregam o que tem à taxa de 40% ao ano. Após 2 anos, a primeira recebe R$ 69.738,00 de juro a mais que a segunda. Qual o capital de cada uma?

j = j1 + j2
j1 = j2 + 69738

j = Cin
j1 + j2 = 261640.0,4.2
j2 + 69738 + j2 = 209312
2j2 = 209312 - 69738
j2 = 139574/2
j2 = 69787

De onde se conclui que j1 = 139525.

Calculando-se inversamente, temos:
j1 = C1.i.n
139625 = C1.0,4.2
C1 = 174406,25

C2 = C - C1
C2 = 261640 - 174406,25
C2 = 87233,75




O capital de R$ 7812,00 foi dividido em 2 partes. A primeira colocada a 4% ao mês, rendeu durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2% ao mês. Calcule o valor de cada parte.

j1 = j2
C.k.i1.n1 = C.(1 - k).i2.n2
7812.k.0,04.5 = 7812.(1 - k).0,02.8
k.0,2 = (1 - k).0,16
k.0,2 = 0,16 - k.0,16
k.0,36 = 0,16
k = 0,44444444... ou 4/9

Portanto os valores são 7812.4/9 = 3472 e 7812.(1 - 4/9) = 4340.




Maria, dispondo de R$ 3.000,00, resolveu aplicá-los em duas financeiras. Na primeira aplicou uma parte a 8% ao mês por 6 meses e na segunda aplica ou o restante a 10% ao mês por 8 meses. Sendo de R$ 1.824,00 a soma dos juros auferidos nas duas aplicações, determine o valor dessas aplicações.

j = C.k.i1.n1 + C.(1 - k).i2.n2
1824 = 3000.k.0,08.6 + 3000.(1 - k).0,1.8
1824 = 1440k + 2400 - 2400k
960k = 576
k = 0,6

Portanto os capitais são 3000.0,6 = 1800 e 3000.(1 - 0,6) = 1200.




Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-se, assim, um ganho anual de R$ 8.640,00. qual é o valor desse capital?

j = C1.i1.n1 + C2.i2.n2
8640 = C.2/3.0,24.1 + C.1/3.0,32.1
8640 = C.0,48/3 + C.0,32/3
8640.3 = C.0,48 + C.0,32
C = 8640.3/0,8
C = 32400

Verificando:
j = C.2/3.0,24.1 + C.1/3.0,32.1
j = 32400.2/3.0,24.1 + 32400.1/3.0,32.1
j = 5184 + 3456
j = 8640

ok



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Problemas de Matemática Financeira #2

Estou experimentando o novo serviço de blogagem rápida do ScribeFire. Com esta simplificação na postagem os posts aparecerão com mais frequência. Tentarei também entrar na onda da Revisão Ortográfica. Então, as palavras talvez fiquem um pouco misturadas até eu conseguir apreender
todas as modificações.


Vamos aos problemas, então:

Um capital de R$ 2000,00 foi aplicado a juros nominais de 28% ao ano capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 7 meses, de quanto será o montante?
Esta é uma dúvida corriqueira e é interessante reparar como em poucas linhas temos a
oportunidade de rever diversos conceitos da Matemática Financeira.
Vejamos:
Primeiramente o aluno deve conhecer bem os conceitos de taxa de juros nominal e taxa de juros efetiva. Vamos relembrar?
Capitalizar significa render juros, portanto, quando se afirma que determinado capital está sujeito à capitalização anual, por causa da convenção de juros postecipados (considera-se que a
formação dos juros é apenas ao final do prazo a que a taxa se refere), no caso, ao final do ano.
Se a capitalização é semestral – o capital rende juros ao final do semestre.
Se a capitalização é mensal – o capital rende juros ao final do mês.

Agora a dúvida aparece, e se a taxa se referir a um período de tempo e a capitalização se referir a outro?

Por exemplo:
Taxa de juros de 12% a.a. capitalizados mensalmente.
Percebam
que ao final do primeiro mês, não se pode considerar que o capital inicial rendeu 12%, uma vez que este rendimento só será possível ao final do ano.
Neste caso, tem-se uma taxa de juros que não é válida, só existe pelo nome, é uma taxa meramente "nominal".

E como resolver este problema?

Para resolver o problema temos que calcular uma taxa que se refira ao prazo de capitalização (mensal). Neste caso, deve-se calcular a taxa mensal, proporcional à taxa anual de 12%.
Postem suas respostas nos comentários. Depois eu resolvo o problema que motivou este post.

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