sexta-feira, 6 de junho de 2008

Diversos exercícios resolvidos passo-a-passo

Direto ao assunto:

Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação?
n = 9 meses = 3 trimestres
C = X
M = 3X
i = ?

M = C(1 + i)^n
3X = X(1 + i)^3
3 = (1 + i)^3
log 3 = 3.log(1 + i)
log(1 + i) = 0,477121255/3
1 + i = 10^0,159040418
i = 1,442249571 - 1
i = 0,442249571 => 44,22 % a.t.


Um capital foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, rendendo um juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação?
Se rendeu um juro igual ao capital aplicado, então dobrou.

n = 10 meses
C = X
M = 2X
i = ?

M = C(1 + i)^n
2X = X(1 + i)^10
2 = (1 + i)^10
log 2 = 10.log(1 + i)
log(1 + i) = 0,301029996/10
1 + i = 10^0,03010299996
i = 1,071773463 - 1
i = 0,071773463 => 7,18 % a.m.


Calcule a taxa de depósito para que um capital qualquer duplique o seu valor sabendo-se que a capitalização é semestral, que o período de aplicação é de 1 ano e seis meses e que o regime de capitalização é composta.
A resposta do módulo é 25,99%
n = 1,5 anos => 3 semestres

M = C(1 + i)^n
2x = x(1 + i)^3
2 = (1 + i)^3
log(2) = log[(1 + i)^3]
log(2) = 3.log(1 + i)
log(1 + i) = log(2)/3
log(1 + i) = 0,10034333188799373173791296490816
1 + i = 10^0,10034333188799373173791296490816
1 + i = 1,2599210498948731647672106072782
i = 1,2599210498948731647672106072782 - 1
i = 0,2599210498948731647672106072782

Então temos 25,99210498948731647672106072782 % ao semestre


1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000 à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses.
M = C(1 + i)^n
M = 8000(1 + 0,03)^14
M = 8000.1,03^14
M = 8000.1,512589725 = 12100,7178


2. Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000 a 4,5% a.m., capitalizados mensalmente durante 8 meses.
M = C(1 + i)^n
j = M - C
j = C(1 + i)^n - C
j = C[(1 + i)^n - 1]
j = 20000[(1 + 0,045)^8 - 1]
j = 20000[1,045^8 - 1]
j = 20000[1,422100613 - 1]
j = 20000.0,422100613 = 8442,01226


3. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês?
M = C(1 + i)^n
M = 6800(1 + 0,038)^4
M = 6800.1,038^4
M = 6800.1,160885573 = 7894,021896


4. Calcule o montante de R$ 8.500, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses.
M = C(1 + i)^n
M = 8500(1 + 0,025)^40
M = 8500.1,025^40
M = 8500.2,685063838 = 22823,04262


5. Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% a.m., sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$ 19752.
M = C(1 + i)^n
C = M/(1 + i)^n
C = M(1 + i)^-n
C = 19752(1 + 0,035)^-8
C = 19752.1,035^-8
C = 19752.0,759411556 = 14999,89706


6. Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% a.m.?
M = C(1 + i)^n
146853 = 100000(1 + 0,03)^n
1,03^n = 146853/100000
1,03^n = 1,46853
log(1,03^n) = log(1,46853)
n.log(1,03) = log(1,46853)
n = log(1,46853)/log(1,03)
n = 0,166882823/0,012837225
n = 12,99991446 => 13 meses


7. Um capital de R$ 20.000 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ 3.774 de juros. Determine a taxa de aplicação.
M = C(1 + i)^n
j = M - C
j = C(1 + i)^n - C
j = C[(1 + i)^n - 1]
3774 = 20000[(1 + i)^7 - 1]
(1 + i)^7 - 1 = 3774/20000
(1 + i)^7 = 0,1887 + 1
log[(1 + i)^7] = log(1,1887)
7.log(1 + i) = 0,075072263
log(1 + i) = 0,075072263/7
log(1 + i) = 0,010724609
(1 + i) = 10^0,010724609
i = 1,025001755 - 1
i = 0,025001755 => 2,5 % a.m.


8. Calcule o valor atual, à taxa de 2,5% ao mês, do capital de R$ 6.000 disponivel no fim de 4 meses.
M = C(1 + i)^n
M = 6000(1,025)^4
M = 6622,88


9. Qual o valor atual de um título de R$ 15.000, resgatado a 6 meses de seu vencimento, sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 6% ao bimestre?
Você deve estar falando de Desconto Racional composto (por dentro). É esse que utilizei.
D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
D = 15000[1,06^3 - 1]/1,06^3
D = 2405,71

Como D = N - A, vem:
2405,71 = 15000 - A
A = 15000 - 2405,71 = 12594,29


10. Um título de valor nominal de R$ 2.000 sofreu um desconto real de 40% ao ano, capitalizados semestralmente, 2 anos antes do vencimento. Qual o seu valor atual?
D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
D = 2000[1,2^4 - 1]/1,2^4
D = 1035,49

A = N - D
A = 2000 - 1035,49 = 964,51


11. Um título de R$ 75.000 foi resgatado, com um desconto composto de 3,5% ao mês, por R$ 67.646. Calcule o tempo de antecipação do resgate.
D = N - A
D = 75000 - 67646 = 7354

D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
7354 = 75000[1,035^n - 1]/1,035^n
7354.1,035^n/75000 - 1,035^n = -1
1,035^n(7354/75000 - 1) = -1
1,035^n = -1/(7354/75000 - 1)
1,035^n = 1,108713006
log(1,035^n) = log(1,108713006)
n.log(1,035) = log(1,108713006)
n = log(1,108713006)/log(1,035)
n = 2,999872344 => ~3 meses


12. Uma letra paga 5 meses antes de seu vencimento, com um desconto composto de 4% ao mês, ficou reduzida a R$ 24.658. Calcule o valor da letra.
D = N - A => D = N - 24658

mas D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n, donde vem:

D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
N - 24658 = N[1,04^5 - 1]/1,04^5
N - N[1,04^5 - 1]/1,04^5 = 24658
N(1 - 0,178072893) = 24658
N = 24658/0,821927107
N = 30000,22726

13. Uma pessoa deposita R$ 200 no fim de cada mês. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, quanto possuirá em 2 anos?
S = R.FRS(2%;24)
S = 200.[(1 + i)^n - 1]/i
S = 200.[1,02^24 - 1]/0,02
S = 200.30,42186245
S = 6084,37249


14. Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 35.457 no final dos 36 meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 1½ % ao mês?
S = R.FRS(1,5%;36)
35457 = R.[1,015^36 - 1]/0,015
R = 35457/47,2759692
R = 750,0004886


15. Uma pessoa deposita R$ 5.000 em uma instituição financeira no início de cada trimestre. Sabendo que a taxa de juros é de 6% ao trimestre, qual o montante no fim de 1½ ano.
S = R.FRS(6%;6)
S = R.[(1 + i)^n - 1]/i
S = 5000.[1,06^6 - 1]/0,06
S = 5000.6,975318533
S = 34876,59267


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T+

--
Flávio Augusto de Freitas
Tecnólogo em Processamento de Dados e Especialista em Matemática Superior (Análise Real, Equações Diferenciais e Cálculo Superior)
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